对快速幂代码的理解

模板代码：

typedef long long ll;
ll quick_pow(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while(b > 0){
		if(b & 1){
			res *= a;
		}
		a *= a;
		b >>= 1;
	}
	return res;
} 

这里以a^10为例，说一下对快速幂代码的理解。

右下角的o表示这是十进制数 这里写错了，图片中不应该是o，应该d，d表示这是十进制数 ，b表示这是二进制数。可以得到以下的几个式子，都是逐步变换得出来的。

最后一个式子可以很好的理解模板代码，可以看到，等号右侧有4项，这4项的幂次是1010，也就是10的二进制表达的每一位。所以，这就要求出幂指数10的二进制的每一位，而且，最后一个式子中，幂次是0的项（第二项和第四项）其实是1，对结果没有贡献，那我们就可以考虑，求出幂指数10的每一位以后，进行判断，如果这一位是0，那就不予考虑了，如果是1的话，就把这一项乘到原有的结果中，也就是代码中的这几行

if(b & 1){
			res *= a;
		}
} 

每次判断以后，要把幂次10向右移1位，准备进行下一次的判断。

b >>= 1;

观察第四个式子，看每一项的括号里边，当前项就是他右边项的平方，所以这还需要一个变量来控制这个东西，每次自己乘自己就可以了，代码里用的底数a本身。

a *= a;

同理，可以得到快速乘法的代码

int qmul(int a, int b){
	int ans = 0;
	while(b){
		if(b & 1){
			ans += a;
		}
		a += a;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}